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Géométrie persistante (Document en Anglais)

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Modalités de diffusion de la thèse :

Thèse consultable sur internet, en texte intégral.

Informations sur les contributeurs

Auteur : Commaret Antoine

Commaret, Antoine

Nom

Commaret

Prénom

Antoine

Nationalité

Français

Date de soutenance : 20-12-2024

Directeur(s) de thèse : Chatterji Indira Lara

Chatterji, Indira Lara

Nom

Chatterji

Prénom

Indira Lara

Etablissement de soutenance : Université Côte d'Azur

Université Côte d'Azur

Nom

Université Côte d'Azur

Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)

Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)

Nom

Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)

- Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)

Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)

Nom

Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)

Ecole doctorale : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées

École doctorale Sciences fondamentales et appliquées

Nom

École doctorale Sciences fondamentales et appliquées

Informations générales

Discipline : Mathématiques
Classification : Mathématiques

Mots-clés libres : Inférence géométrique, Analyse topologique des données, Théorie géométrique de la mesure, Géométrie intégrale, Homologie persistante
Mots-clés :

Inférence
Homologie
Mesure géométrique, Théorie de la
Géométrie intégrale

Résumé : Cette thèse est dédiée à l'inférence géométrique et plus particulièrement à l'estimation de courbures d'un objet dans un espace euclidien à partir d'une approximation proche suivant la distance de Hausdorff. Nous développons le concept de géométrie persistante, destiné à étendre les propriétés filtrantes de l'homologie persistante au domaine de la géométrie. La géométrie persistante consiste à utiliser les relations entre la topologie et les courbures d'un sous-ensemble de R^d fournies par la géométrie intégrale, comme la formule cinématique principale. À l'aide d'une construction appelée persistance image, nous mêlons ces relations à l'homologie persistante pour estimer les volumes intrinsèques d'un objet à partir d'une approximation quelconque, et ce à un taux linéaire suivant la distance de Hausdorff qui les sépare. Parmi les volumes intrinsèques, on trouve notamment la caractéristique d'Euler, la courbure moyenne et l'aire du bord de l'objet. Nous montrons que cette approximation est valide tant que l'objet approximé a des courbures totales bornées et un mu-reach positif pour un certain mu dans ]0,1], le mu-reach étant une quantité généralisant le reach de Federer. Elle a été définie pour généraliser certains résultats d'inférence géométrique à des objets potentiellement ni lisses, ni convexes. Les objets compacts de R^d à mu-reach positif pour un certain mu dans ]0,1] et à courbures totales bornées forment une vaste classe, contenant les sous-variétés C^1 compactes, les compacts convexes, les polyèdres, et même plus généralement la plupart des compacts stratifiés. Nous utilisons et obtenons de nouveaux résultats dans différentes théories mathématiques comme l'analyse non-lisse, la théorie géométrique de la mesure et la théorie de Morse. En particulier, un résultat crucial à notre approche est le développement d'une notion de fonctions de Morse pour des voisinages tubulaires de parties de R^d à des valeurs régulières de leur fonction distance. Nous montrons que la topologie des sous-niveaux d'une fonction lisse restreinte à un tel objet, qui n'est pourtant pas une variété C^2, évolue généralement par l'attachement d'une cellule autour de chaque point critique, comme dans la théorie de Morse sur des variétés C^2.

Informations techniques

Type de contenu : Text
Format : PDF

Informations complémentaires

Entrepôt d'origine :

STAR : dépôt national des thèses électroniques françaises

Identifiant : 2024COAZ5082
Type de ressource : Thèse